Ціль:
Визначення критичних значень поздовжніх стискаючих сил, прикладених до проміжних та торцевих перерізів консольної стійки зі ступінчастою зміною поперечного перерізу, що відповідають моменту втрати її стійкості. Визначення вільних довжин ступенів стійки.
Література:
С. П. Тимошенко, Устойчивость стержней, пластин и оболочек, Москва, Наука, 1971, стр. 166.
Формулювання задачі:
Консольна стійка зі ступінчастою зміною поперечного перерізу піддається впливу поздовжніх сил Pi, прикладених до проміжних та торцевих перерізів. Визначити критичні значення поздовжніх стискаючих сил Pкрi, що відповідають моменту втрати стійкості консольної стійки. Визначити вільні довжини ступенів стійки L0i.
Опис розрахункової схеми:
Стержнева модель. Сітка скінченних елементів розбита по довжині поздовжньої осі стійки (вздовж осей X1 місцевих систем координат) з кроком 1,0 м. На вузлах верхніх торців ступенів стійки задаються зосереджені сили з початковими значеннями P1, P2, P3.
Оболонкова модель, розрахункова схема – система загального вигляду. Сітка скінченних елементів стійки розбита в кільцевому напрямку (вздовж осей X1 місцевих систем координат) з кроком 3.6°, по довжині поздовжньої осі (вздовж осей Y1 місцевих систем координат) з кроком 0,0625 м та в в радіальному напрямку (вздовж осей Y1 місцевих систем координат) з кроком 0,0625 м. З метою забезпечення умов проти місцевої втрати стійкості оболонки стійки в ній встановлені горизонтальні кільцеві ребра жорсткості шириною 0,25 м і з кроком по висоті 1,00 м. На вузлах верхніх торців ступенів стійки задаються рівномірно розподілені лінії навантаження з початковими значеннями P1/(π*D1), P2/(π*D2), P3/(π*D3).
Геометрія:
Довжина першого (верхнього) ступеня стійки L1 = 10 м;
Довжина другого (середнього) ступеня стійки L2 = 10 м;
Довжина третього (нижнього) ступеня стійки L3 = 10 м;
Зовнішній діаметр трубчастого поперечного перерізу першого ступеня стійки D1 = 2 м;
Зовнішній діаметр трубчастого поперечного перерізу другого ступеня стійки D2 = 2 м;
Зовнішній діаметр трубчастого поперечного перерізу третього ступеня стійки D3 = 2 м;
Товщина трубчастого поперечного перерізу першого ступеня стійки t1 = 0,01 м;
Товщина трубчастого поперечного перерізу другого ступеня стійки t2 = 0,02 м;
Товщина трубчастого поперечного перерізу третього ступеня стійки t3 = 0,04 м.
Характеристика матеріалу:
Модуль пружності матеріалу стійки E = 2,06*108 кН/м2;
Коефіцієнт Пуассона v = 0,3.
Граничні умови:
Забезпечення граничних умов в стержневій моделі досягається за рахунок накладання в'язів за напрямами ступенів вільності X, Y, Z, uX, uY, uZ на защемленому вузлі стійки.
В оболонковій моделі - накладання в'язів на вузли затиснутого торця за напрямами ступенів вільності X, Y, Z, uX, uY, uZ.
Навантаження:
Початкове значення стискаючої поздовжньої сили, прикладеної до верхнього торця першого ступеня стійки P1 = 1*104 кН/м2;
Початкове значення стискаючої поздовжньої сили, прикладеної до верхнього торця другого ступеня стійки P2 = 1*104 кН/м2;
Початкове значення стискаючої поздовжньої сили, прикладеної до верхнього торця третього ступеня стійки P3 = 2*104 кН/м2.
Примітка:
Задача розв’язується у просторовій постановці (ознака схеми 5).
Для опису роботи схеми використаний СЕ 2 – СЕ плоскої рами: для стержневої моделі; СЕ 44 – універсальний чотирикутний СЕ оболонки: для оболонкової моделі.
Кількість вузлів: 31; 51200. Кількість елементів: 30; 51100.
Результати розрахунку:
|
|
|
|
Розрахункова схема стержневої моделі
|
Розрахункова схема оболонкової моделі
|
|
|
|
|
1-ша форма втрати стійкості стержневої моделі
|
Коефіцієнти вільних довжин
|
|
|
|
|
1-ша форма втрати стійкості оболонкової моделі
|
2-га форма втрати стійкості оболонкової моделі
|
Аналітичне рішення:
При аналітичному рішенні критичні значення поздовжніх стискаючих сил Pкрi, що відповідають моменту втрати стійкості консольної стійки та вільні довжини ступенів стійки L0i визначаються за такими формулами:
де k - коефіцієнт запасу стійкості системи.
Порівняння результатів розрахунку:
| Параметр | Теорія | LIRA-FEM | |||
| Стержнева модель | Похибка, % | Оболонкова модель | Похибка, % | ||
| Критичне значення зосередженої поздовжньої сили на верхньому торці першого ступеня Pкр1, кН | 32978 | 3,29764*10000=32976,4 | 0,00 | 3,41837*10000=34183,7 | 3,66 |
| Критичне значення зосередженої поздовжньої сили на верхньому торці другого ступеня Pкр2, кН | 32978 | 3,29764*10000=32976,4 | 0,00 | 3,41837*10000=34183,7 | 3,66 |
| Критичне значення зосередженої поздовжньої сили на верхньому торці третього ступеня Pкр3, кН | 65957 | 3,29764*20000=32976,4 | 0,00 | 3,41837*20000=34183,7 | 3,65 |
| Вільна довжина першого ступеня стійки L01, м | 43,680 | 43,6976 | 0,04 | - | - |
| Вільна довжина другого ступеня стійки L02, м | 43,353 | 43,3538 | 0,00 | - | - |
| Вільна довжина третього ступеня стійки L03, м | 42,704 | 42,7018 | 0,01 | - | - |
Завантажити приклад
Помилка в тексті? Виділіть її та натисніть Ctrl + Enter, щоб повідомити нам.
Коментарі