Тест 2.13. Стійкість прямокутної ортотропної вільно опертої пластини рівномірно стиснутою в одному напрямку

Ціль:

Визначення критичного значення стискаючих зусиль, рівномірно розподілених по двох протилежних поперечних торцях прямокутної ортотропної вільно опертої пластини, що відповідає моменту втрати її стійкості.

Література:

А. С. Вольмир, Устойчивость деформируемых систем, Москва, Наука, 1967, стр. 374.

Формулювання задачі:

Прямокутна ортотропна вільно оперта пластина піддається впливу стискаючих зусиль σ, рівномірно розподілених по двох протилежних поперечних торцях. Визначити критичне значення стискаючих зусиль σcrort, що відповідає моменту втрати стійкості прямокутної ортотропної пластини.

Опис розрахункової схеми:

Розрахункова схема - система загального вигляду. Розглядаються дві розрахункові схеми із співвідношеннями сторін пластини a/b = 1,0; 4,0. Сітка скінченних елементів розбита (вздовж осей X та Y загальної системи координат) з кроком 0,075 м. На одному з двох протилежних поперечних торців пластини, схильних до впливу стискаючих зусиль, задається рівномірно розподілене по лінії навантаження з початковим значенням p = σ*h = 1000 кН/м.

Геометрія:

Розмір сторони прямокутної пластини, вільної від навантаження (вздовж осі X загальної системи координат) a = 0,6; 2,4 м;
Розмір сторони прямокутної пластини, схильної до впливу стискаючих зусиль (вздовж осі Y загальної системи координат) b = 0,6 м;
Товщина прямокутної пластини h = 0,01 м.

Характеристика матеріалу:

Модуль пружності матеріалу пластини, що відповідає поздовжнім деформаціям осі X загальної системи координат E₁ = 5,6*10⁸ кН/м²;
Коефіцієнт Пуассона, що відповідає поперечним деформаціям по осі Y загальної системи координат v₂₁ = 0,3;
Модуль пружності матеріалу пластини, що відповідає поздовжнім деформаціям осі Y загальної системи координат E₂ = 2,123*10⁸ кН/м²;
Коефіцієнт Пуассона, що відповідає поперечним деформаціям по осі X загальної системи координат v₁₂ = 0,114;
Модуль зсуву матеріалу пластини G₁₂ = 0,769*10⁸ кН/м².

Граничні умови:

Забезпечення граничних умов досягається за рахунок накладання в'язів на вузли опорного контуру пластини у напрямку ступеня вільності Z. На вузли протилежного торця, де задається навантаження, накладаються в'язі за відповідним напрямком (вздовж осі X загальної системи координат). З метою забезпечення геометричної незмінності розрахункової схеми на вузли одного з двох протилежних поздовжніх торців пластини, вільних від навантаження, накладаються в'язі по нормальному до нього напрямку (вздовж осі Y загальної системи координат). У цих же цілях на вузол одного з кутів пластини накладається в'язь у напрямку UZ загальної системи координат.

Навантаження:

Початкове значення стискаючих зусиль σ = 1*10⁵ кН/м².

Результати розрахунку:

Аналітичне рішення:

При аналітичному рішенні критичне значення стискаючих зусиль σ_крорт, що відповідає моменту втрати стійкості прямокутної ортотропної пластини, визначається за такою формулою:

n, m = 1, 2, 3 … – число напівхвиль форми втрати стійкості у напрямках поперечному та поздовжньому відносно стиснення пластини.
Жорсткісні характеристики ортотропної пластини приймаються з умов еквівалентності жорстким характеристикам підкріпленої пластини:

і визначаються за такими формулами:

Критичні значення стискаючих зусиль σ_кр для підкріпленої пластини повинні бути зменшені з коефіцієнтом k відносно критичних значень стискаючих зусиль σ_кр для ортотропної пластини, оскільки при визначенні останніх не враховується складова, що діє на ребра першої:

де F – площа ребра жорсткості, s – число ребер.

Порівняння результатів розрахунку:

Без додаткових вузлів на сторонах:

З використанням додаткових вузлів на сторонах: