Тест 1.51. Циліндрична оболонка з вільними торцями при градієнті температури за товщиною

Ціль:

Визначення напружено-деформованого стану циліндричної оболонки з вільними торцями від впливу градієнта температури по товщині.

Література:

С.П. Тимошенко. Пластинки и оболочки. — Москва: ОГИЗ. Гостехиздат, 1948.

Формулювання задачі:

Циліндрична тонкостінна оболонка, вільна від закріплень, знаходиться під впливом градієнта температури по товщині.

Температури стінки циліндра на її внутрішній t₁ і зовнішній t₂ поверхнях постійні, температура по товщині стінки змінюється лінійно.

Визначити компоненти тензора напружень на зовнішній та внутрішній поверхнях оболонки в меридіональному σ_x(ext) (σ_x(int)) та кільцевому σ_φ(ext) (σ_φ(int)) напрямках, а також радіальні переміщення w.

Опис розрахункової схеми:

Розрахункова схема – система загального вигляду. Сітка кінцевих елементів розбита з кроком 0,025 м у меридіональному напрямку та з кроком 4,5⁰ в кільцевому напрямку.

Геометрія:

Товщина стінки оболонки h = 0,02 м;
Радіус серединної поверхні стінки оболонки a = 1 м;
Довжина оболонки l = 4 м.

Характеристика матеріалу:

Модуль пружності Е = 2,1*10⁸ кПа;
Коефіцієнт Пуассона ν=0,3.

Граничні умови:

Геометрична незмінність розрахункової схеми забезпечується з допомогою накладання в'язів за умовами її симетрії.

Навантаження:

Коефіцієнт лінійного розширення α = 1,2*10^-5 1/C⁰;
Температура на внутрішній поверхні стінки циліндра t₁ = 0⁰C;
Температура на зовнішній поверхні стінки циліндра t₂ = 20⁰C.

Результати розрахунку:

Аналітичне рішення:

При аналітичному розв’язку напружень на зовнішній і внутрішній поверхнях оболонки в меридіональному σ_x(ext) (σ_x(int)) і кільцевому σ_φ(ext) (σ_φ(int)) напрямках, а також радіальні переміщення w можуть бути обчислені за такими формулами, які дають хороше наближення "в точках, що знаходяться на значній відстані":

Порівняння результатів розрахунку:

Без додаткових вузлів на сторонах:

З використанням додаткових вузлів на сторонах: