Тест 1.3. Балка із попередньо напруженою затяжкою

Ціль:

Визначення напружено-деформованого стану балки із затяжкою з урахуванням деформацій поперечного зсуву в балці.

Література:

M. Laredo, Résistance des matériaux, Paris, Dunod, 1970, P. 77.

Формулювання задачі:

Визначити поздовжнє зусилля у затяжці РЄ, згинальний момент М у балці у точці Н і вертикальне переміщення v(Z) у точці D.

Опис розрахункової схеми:

Однопрогонова балка із затяжкою, стягнутою на величину зміщення δ, завантажена рівномірно розподіленим навантаженням q.

Геометрія:

Довжина стержнів а = 2 м; b = 4 м; l = 8 м; с = 0,6 м; d = 2,088 м;
Площа поперечного перерізу балки AD, DF, FB: А = 0,01516 м²; Аr = A/2,5 = 0,006064 м²;
Момент інерції балки I = 2,174 * 10^-4 м⁴;
Площа поперечного перерізу стержнів AC, CE, EB: А₁ = А₂ = 4.5 * 10^-3 м²;
Площа поперечного перерізу стержнів DC, FE: А₃ = 3,48 * 10^-3 м².

Характеристика матеріалу:

Модуль пружності Е = 2,1 * 10¹¹ Па;
Модуль зсуву G = 0,4 * Е = 0,84 * 10¹¹ Па.

Граничні умови:

В точках А і В задані в'язі, які забороняють переміщення по вертикалі вздовж глобальної осі Z (Z (vA, vВ) = 0). У точці Н перенесено в'язь, яка забороняє переміщення по горизонталі вздовж глобальної осі Х (X (uH) = 0), для симетрії переміщень.

Навантаження:

Інтенсивність рівномірно розподіленого навантаження q = 50000 Н/м.
Величина зміщення δ = 6,52 * 10^-3 м.

Результати розрахунку:

Аналітичне рішення:

μ = 1-(4/3)(a/l)
k = A/Ar = 2,5
t = √(I/A)
γ = (l/c)²(1+(A/A₁)(b/l)+2(A/A₂)(d/a)²(d/l)+2(A/A₃)(C/A)²(c/a)²(c/l))
τ = k(2Et²/(Gal))
ρ = μ+γ+τ
μ₀ = 1-(a/l)²(2-a/l)
τ₀ = 6k(E/G)(t/l)²(1+b/l)
ρ₀ = μ₀+ τ₀
NCE = -(1/12)(pl²/c)(ρ₀/ρ)+(EI/(lc²))(δ/ρ)
MH = -(1/8)pl²(1-(2/3)(ρ₀/ρ))-(EI/(lc))(δ/ρ)

Порівняння результатів розрахунку: