Ціль:
Визначення напружено-деформованого стану вертикальної призми під дією навантаження від власної ваги.
Література:
С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. Теория упругости, М., Наука, 1975, С. 289-291.
Формулювання задачі:
Визначити вертикальні переміщення Z (w) точок B, C, горизонтальне переміщення X (u) точки D, а також напруження біля верхньої грані і в середині висоти стержня.
Опис розрахункової схеми:
Вертикальний призматичний стержень, завантажений власною вагою і навантаженням біля верхньої грані, рівним вазі стержня.
|
|
|
|
Варіант 1 |
Варіант 2 |
Геометрія:
Довжина L = 3 м;
Розміри поперечного перерізу a = b = 0,5 м.
Характеристика матеріалу:
Модуль пружності Е = 2 * 107 тс/м2;
Коефіцієнт Пуассона ν = 0,3.
Об'ємна вага R0 (ρg) = 7,8 тс/м3.
Граничні умови:
Точка А закріплена по Z (Z (wA) = 0, щоб уникнути геометричної змінності), по площині обрізу XZ призначені в'язі по осі Y (v=0), по площині обрізу YZ призначені в'язі по осі X (u=0).
Навантаження:
Власна вага на призму (діє вниз), на верхню грань призми прикладено рівномірно розподілене навантаження рівне в сумі об'ємній вазі призми (діє вгору).
Примітка:
Задача розв’язується у просторовій постановці (ознака схеми 5).
Для побудови схеми використані СЕ 31 – паралелепіпед.
У розрахунковій схемі розглядається чверть призми, на площинах обрізу призначені в'язі симетрії.
Для прикладання навантаження до верхньої грані призми використовувалися СЕ 11 пластини з Е=0, ν = 0.
Варіант 1:
Сітка 4×4×12.
Кількість вузлів: 325. Кількість елементів: 208.
Варіант 2:
Сітка 8×8×24.
Кількість вузлів: 2025. Кількість елементів: 1600.
Результати розрахунку:
|
|
|
|
Варіант 1 |
Варіант 2 |
|
|
|
|
Варіант 1 |
Варіант 2 |
|
|
|
|
Варіант 1 |
Варіант 2 |
Аналітичне рішення:
σzz = ρgz
σxx = σyy = σxy = σyx = σzx = 0
u = -νρgxz/E
Порівняння результатів розрахунку:
Без додаткових вузлів на сторонах:
| Точка | Шукана величина | Аналітичне рішення | LIRA-FEM | Похибка, % | ||
| Варіант 1 | Варіант 2 | Варіант 1 | Варіант 2 | |||
| В | w (Δz), м | -1,755*106 | -1,755*106 | -1,755*106 | 0 | 0 |
| С | w (Δz), м | -1,74*106 | -1,7584*106 | -1,7447*106 | 1,0464 | 0,2694 |
| D | u (Δx), м | -1,755*107 | -1,7182*107 | -1,7418*107 | 2,0969 | 0,7521 |
| А | σZZ, тс/м2 | 23,4 | 22,444 | 22,9148 | 4,0855 | 2,0735 |
| Е | σZZ, тс/м2 | 11,7 | 11,7 | 11,7 | 0 | 0 |
З використанням додаткових вузлів на сторонах:
| Точка | Шукана величина | Аналітичне рішення | LIRA-FEM | Похибка, % | ||
| Варіант 1 | Варіант 2 | Варіант 1 | Варіант 2 | |||
| В | w (Δz), м | -1,755*106 | -1,7547*106 | -1,7549*106 | 0,0171 | 0,0057 |
| С | w (Δz), м | -1,74*106 | -1,7437*106 | -1,7439*106 | 0,2122 | 0,2236 |
| D | u (Δx), м | -1,755*107 | -1,7533*107 | -1,7545*107 | 0,0969 | 0,0285 |
| А | σZZ, тс/м2 | 23,4 | 22,444 | 22,9226 | 4,0855 | 2,0402 |
| Е | σZZ, тс/м2 | 11,7 | 11,7 | 11,7 | 0 | 0 |
Завантажити приклад
Помилка в тексті? Виділіть її та натисніть Ctrl + Enter, щоб повідомити нам.
Коментарі