Тест 2.10. Стійкість кругової двошарнірної арки постійного перерізу при гідростатичному тиску

Ціль:

Визначення критичного значення гідростатичного тиску, що діє на склепіння кругової двошарнірної арки постійного перерізу, що відповідає моменту втрати її стійкості.

Література:

Н. В. Корноухов, Прочность и устойчивость стержневых систем, Москва, Стройиздат, 1949, стр. 212.

Формулювання задачі:

Кругова двошарнірна арка постійного перерізу піддається впливу від рівномірно розподіленого радіального навантаження q. Визначити критичне значення рівномірно розподіленого радіального навантаження q_кр, що відповідає моменту втрати стійкості арки. Прийняти, що при втраті стійкості елементи навантаження слідують за віссю арки, зберігаючи паралельність своїм колишнім напрямкам, завдяки чому відбувається переміщення лінії тиску при втраті стійкості арки. Порівняти результат розрахунку з рішенням (С. П. Тимошенко), коли елементи навантаження при викривленні осі арки зберігають лінії своєї дії та лінія тиску при втраті стійкості арки не переміщається.

Опис розрахункової схеми:

Розрахункова схема – плоска рама. Сітка скінченних елементів розбита по довжині поздовжньої осі арки (вздовж осей X1 місцевих систем координат) із кроком центрального кута 5,0° (1,667°). Вплив з початковим значенням рівномірно розподіленого радіального навантаження q задається у напрямку проти осей Z1 місцевих систем координат елементів.

Геометрія:

Радіус поздовжньої осі арки R = 60 м (120 м);
Центральний кут дуги арки 2*ω = 2*90⁰ (2*30⁰).

Характеристика матеріалу:

Осьова жорсткість арки EF = 2,16*10⁶ кН;
Згинальна жорсткість арки EI_y1 = 2,592*10⁵ кН*м²;

Граничні умови:

Забезпечення граничних умов досягається за рахунок накладання в’язів на опорні вузли арки за напрямами ступенів вільності X, Z.

Навантаження:

Початкове значення рівномірно розподіленого радіального навантаження на арку q = 1 кН/м.

Результати розрахунку:

Аналітичне рішення:

При аналітичному рішенні за умовами Н. В. Корноухова критичне значення рівномірно розподіленого радіального навантаження q_кр, що відповідає моменту втрати стійкості арки визначається за такою формулою:

де η (параметр критичного навантаження) визначається рішенням трансцендентного рівняння:

При аналітичному рішенні за умовами С.П.Тимошенко критичне значення рівномірно розподіленого радіального навантаження qcr, що відповідає моменту втрати стійкості арки визначається за такою формулою:

При аналітичному рішенні для двошарнірної рами, складеної з рівних хорд, вписаних у дугу кола, критичне значення рівномірно розподіленого радіального навантаження q_кр, відповідне моменту втрати її стійкості визначається за такою формулою:

де υ (параметр критичного навантаження) визначається рішенням трансцендентного рівняння:

де 2*m - число хорд рами, A - центральний кут однієї хорди рами, L - Довжина однієї хорди рами:

Порівняння результатів розрахунку:

Критичне значення рівномірно розподіленого радіального навантаження на арку q_кр, кН/м

Без дужок зазначені теоретичні значення, пораховані за умовами даного прикладу (за М. В. Корноуховим);

У круглих дужках вказано теоретичні значення, пораховані за умовами розв'язку С. П. Тимошенко;

У квадратних дужках зазначені теоретичні значення, пораховані для двошарнірної рами, складеної з 2*m=36 рівних хорд, вписаних у дугу кола, і схильною до дії рівних радіальних сил у всіх її вузлах.