Дмитро Городецький Марина Ромашкіна

Тріангуляція. Побудова скінченно-елементних сіток

Змінено 23.10.2024 | Створено 03.02.2017

Дискретизація
Спочатку всі об'єкти будівельної механіки являють собою безперервне (континуальне) середовище. Визначити параметри НДС (переміщення, напруження, зусилля) в усіх точках безперервного середовища, як правило, не представляє можливим, оскільки кількість цих точок у загальному випадку нескінченна. Всі чисельні методи засновані на призначенні кінцевого числа точок, в яких знаходяться параметри, що шукаються НДС. Заміна нескінченного числа точок континуального середовища кінцевим числом точок (вузлів) називається дискретизацією.
Тріангуляція
Континуальне середовище замінюється на набір підобластей (трикутні, чотирикутні, тетраедри, паралелепіпеди та ін.) у вершинах яких знаходяться призначені вузли. Таким чином, континуальне середовище замінюється дискретним середовищем, яке складається з окремих підобластей. Така заміна називається ТРІАНГУЛЯЦІЯ (ТРІАНГУЛЯЦІЯ - від лат. triangulus трикутник - визначення взаємного розташування точок на поверхні за допомогою побудови сіті трикутників).

Побудова скінченно елементних сіток є важливим етапом розв'язання задач по визначенню НДС конструкцій. Цей етап пов'язаний із задоволенням ряду суперечливих вимог.

З одного боку досить густа сітка дозволяє досягти необхідної точності розв'язання задачі. З іншого боку надмірно густа сітка збільшує час розв'язання задачі та може призводити до поганої обумовленості матриці канонічних рівнянь МКЕ, а, отже, і до великих похибок при факторизації цієї матриці.

Рис. 1. Фрагмент тесту збіжності переміщень середини вільного краю циліндричної оболонки при різних розмірах сітки КЕ
Рис. 1. Фрагмент тесту збіжності переміщень середини вільного краю циліндричної оболонки при різних розмірах сітки СЕ

Перевірка збіжності КЕ плити, що вигинається, для кругової області

Відкрити

Циліндрична оболонка під власною вагою

Відкрити

Замкнена кругова циліндрична оболонка під дією самоурівноваженої системи двох зосереджених сил

Відкрити

Сітка
4х4 8х8 16х16 32х32 64х64 Еталон
Переміщення в точці В для повної оболонки wB, м -3.357*10-2 -3.561*10-2 -3.644*10-2 -3.657*10-2 -3.663*10-2 -3.70*10-2
Похибка, % 9.243 3.757 1.514 1.162 1.000 -

Важливим фактором є форма скінченних елементів. Так чотирикутні скінченні елементи є більш точними, порівняно з трикутними. Рівносторонні скінченні елементи більш кращі порівняно з елементами, що мають яскраво виражену нерівномірність сторін. Останні погіршують обумовленість матриці канонічних рівнянь МКЕ, тому при тріангуляції слід надавати перевагу рівностороннім КЕ.

Рис. 2. Фрагмент тесту збіжності вертикальних переміщень у центрі плити при різних параметрах сітки КЕ
Рис. 2. Фрагмент тесту збіжності вертикальних переміщень у центрі плити при різних параметрах сітки КЕ (квадратна шарнірно оперта та защемлена по контуру плита, що вигинається, навантажена зосередженим навантаженням в центрі)

Перевірка збіжності СЕ плити, що вигинається, для квадратної області

Відкрити

Перевірка збіжності СЕ плити, що вигинається, для прямокутної області

Відкрити


Регулярна сітка Нерегулярна сітка
4х4 8х8 16х16 32х32 64х64 Еталон
w х106, м 12.271 11.813 11.664 10.679 11.295 11.512
wеталон х106, м 11.60 11.60 11.60 11.60 11.60 11.60
Похибка, % 5.78 1.84 0.55 7.94 2.63 0.76


Методи тріангуляції в ЛІРА-САПР

В ПК ЛІРА-САПР застосовується три методи тріангуляції

  • метод заснований на застосуванні трикутних скінченних елементів (трикутна тріангуляція). Для 3D моделей аналогом цих елементів є тетраедри та трикутні призми.
  • метод, заснований на максимально можливому включенні в скінченно-елементну сітку прямокутних та чотирикутних СЕ (чотирикутна тріангуляція).
  • метод, заснований на організації регулярних включень у місцях концентрації напружень або зусиль (адаптивна чотирикутна тріангуляція).

Для 3D моделей аналогом чотирикутних елементів є паралелепіпеди та восьмикутні тривимірні СЕ.

В качестве исходных данных для реализации в ПК ЛИРА САПР методов триангуляции  используется следующая информация:

  1. Зовнішній контур фізичної області, що розбивається
  2. Інформація про необхідний крок скінченних елементів з можливими областями згущення.
  3. Масив внутрішніх контурів (отвори або порожнечі в області, що тріангулюється)
  4. Масив додаткових точок (координати вузлів, які повинні бути присутніми в результуючій скінченно-елементній сіті).
  5. Масив додаткових відрізків (відрізки, з якими не повинні перетинатися ребра скінченних елементів).
Рис. 3. Налаштування тріангуляції та результат генерації різних сіток
Рис. 3. Налаштування тріангуляції та результат генерації різних сіток: трикутної, адаптивної чотирикутної – зліва та чотирикутної – справа

Створення узгодженої сіті скінченних елементів у ПК ЛІРА-САПР може бути виконана трьома способами (або їх комбінацією):

  • тріангуляція контурів одним з автоматичних способів (простий контур, контур з отворами, редактор контурів, фрагмент САПФІР);
  • послідовним уведенням спочатку вузлів елементів розрахункової схеми, а потім зображенням самих елементів (введенням елементів);
  • використанням регулярних фрагментів щодо створення геометрії розрахункової схеми.
Рис. 4. Створення та тріангуляція довільного фрагменту схеми за допомогою системи «САПФІР»
Рис. 4. Створення та тріангуляція довільного фрагменту схеми за допомогою системи «САПФІР».

Примітка. Відеоурок россійською мовою.

Основним параметром генерації сіток пластин є крок, який визначає, максимальну довжину ребра трикутника або чотирикутника сітки. Вибір кроку тріангуляції є для користувача важливою і складною проблемою. З одного боку, зменшення розміру скінченного елементу призводить до зменшення похибки дискретизації, з іншого боку до зростання похибок округлення та похибок пов'язаних з погіршенням обумовленості матриці.

Є груба оцінка втрати точності при заокругленні: кількість десяткових знаків, які губляться в результаті факторизації матриці по Гаусу r=lg10, де · – розмір матриці канонічних рівнянь. Так, якщо вихідні величини матриці складені з подвійною точністю (приблизно 15 десяткових знаків), то результат буде містити 15-r правильних знаків.

В якості суто інженерної рекомендації можна рекомендувати призначити крок тріангуляції таким, щоб найбільш характерний проліт містив не менше 10 вузлів тріангуляції.

Помилка в тексті? Виділіть її та натисніть Ctrl + Enter, щоб повідомити нам.

Дмитро Городецький

Кандидат технічних наук - спеціальність «САПР».
Керівник проєкту «МСЕ-процесор ЛІРА-САПР».
Керівник проєкту МОНОМАХ-САПР.

Інші публікації цього автора

Марина Ромашкіна

Кандидат технічних наук - спеціальність «Будівельні конструкції, будівлі та споруди».
Супровід програмного комплексу ЛІРА-САПР.

Інші публікації цього автора

Коментарі

Написати