Цель:
Определение критических значений продольных сжимающих усилий, приложенных к промежуточным и торцевым сечениям консольной стойки со ступенчатым изменением поперечного сечения, соответствующим моменту потери его устойчивости. Определение свободных длин ступеней стойки.
Литература:
С. П. Тимошенко, Устойчивость стержней, пластин и оболочек, Москва, Наука, 1971, стр. 166.
Формулировка задачи:
Консольная стойка со ступенчатым изменением поперечного сечения подвергается воздействию продольных усилий Pi, приложенных к промежуточным и торцевым сечениям. Определить критические значения продольных сжимающих усилий Pкрi, соответствующих моменту потери устойчивости консольной стойки. Определить свободные длины ступеней стойки L0i.
Описание расчетной схемы:
Стержневая модель. Сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси стойки (вдоль осей X1 местных систем координат) с шагом 1,0 м. На узлах верхних торцов ступеней стойки задаются сосредоточенные силы с начальными значениями P1, P2, P3.
Оболочечная модель, расчетная схема – система общего вида. Сетка конечных элементов стойки разбита в кольцевом направлении (вдоль осей X1 местных систем координат) с шагом 3.6°, по длине продольной оси (вдоль осей Y1 местных систем координат) с шагом 0,0625 м и в радиальном направлении (вдоль осей Y1 местных систем координат) с шагом 0,0625 м. С целью обеспечения условий против местной потери устойчивости оболочки стойки в ней установлены горизонтальные кольцевые ребра жесткости шириной 0,25 м и с шагом по высоте 1,00 м. На узлах верхних торцов ступеней стойки задаются равномерно распределенные линии нагрузки с начальными значениями P1/(π*D1), P2/(π*D2), P3/(π*D3).
Геометрия:
Длина первой (верхней) ступени стойки L1 = 10 м;
Длина второй (средней) ступени стойки L2 = 10 м;
Длина третей (нижней) ступени стойки L3 = 10 м;
Наружный диаметр трубчатого поперечного сечения первой ступени стойки D1 = 2 м;
Наружный диаметр трубчатого поперечного сечения второй ступени стойки D2 = 2 м;
Наружный диаметр трубчатого поперечного сечения третей ступени стойки D3 = 2 м;
Толщина трубчатого поперечного сечения первой ступени стойки t1 = 0,01 м;
Толщина трубчатого поперечного сечения второй ступени стойки t2 = 0,02 м;
Толщина трубчатого поперечного сечения третей ступени стойки t3 = 0,04 м.
Характеристика материала:
Модуль упругости материала стійки E = 2,06*108 кН/м2;
Коэффициент Пуассона v = 0,3.
Граничные условия:
Обеспечение граничных условий в стержневой модели достигается за счет наложения связей по направлениям степеней свободы X, Y, Z, uX, uY, uZ на защемленном узле стойки.
В оболочковой модели – наложение связей на узлы защемленного торца по направлениям степеней свободы X, Y, Z, uX, uY, uZ.
Нагрузки:
Начальное значение сжимающей продольной силы, приложенной к верхнему торцу первой ступени стойки P1 = 1*104 кН/м2;
Начальное значение сжимающей продольной силы, приложенной к верхнему торцу второй ступени стойки P2 = 1*104 кН/м2;
Начальное значение сжимающей продольной силы, приложенной к верхнему торцу третей ступени стойки P3 = 2*104 кН/м2.
Примечание:
Задача решается в пространственной постановке (признак схемы 5).
Для описания работы схемы использован КЭ 2 – КЭ плоской рамы: для стержневой модели; КЭ 44 – универсальный четырехугольный КЭ оболочки: для оболочечной модели.
Количество узлов: 31; 51200. Количество элементов: 30; 51100.
Результаты расчета:
|
|
|
|
Расчетная схема стержневой модели
|
Расчетная схема оболочечной модели
|
|
|
|
|
1-я форма потери устойчивости стержневой модели
|
Коэффициенты свободных длин
|
|
|
|
|
1-я форма потери устойчивости оболочечной модели
|
2-я форма потери устойчивости оболочечной модели
|
Аналитическое решение:
При аналитическом решении критические значения продольных сжимающих усилий Pкрi, соответствующих моменту потери устойчивости консольной стойки и свободные длины ступеней стойки L0i определяются по следующим формулам:
где k - коэффициент запаса устойчивости системы.
Сравнение результатов расчета:
| Параметр | Теория | LIRA-FEM | |||
| Стержневая модель | Погрешность, % | Оболочечная модель | Погрешность, % | ||
| Критическое значение сосредоточенной продольной силы на верхнем торце первой ступени Pкр1, кН | 32978 | 3,29764*10000=32976,4 | 0,00 | 3,41837*10000=34183,7 | 3,66 |
| Критическое значение сосредоточенной продольной силы на верхнем торце второй ступени Pкр2, кН | 32978 | 3,29764*10000=32976,4 | 0,00 | 3,41837*10000=34183,7 | 3,66 |
| Критическое значение сосредоточенной продольной силы на верхнем торце третей ступени Pкр3, кН | 65957 | 3,29764*20000=32976,4 | 0,00 | 3,41837*20000=34183,7 | 3,65 |
| Свободная длина первой ступени стойки L01, м | 43,680 | 43,6976 | 0,04 | - | - |
| Свободная длина второй ступени стойки L02, м | 43,353 | 43,3538 | 0,00 | - | - |
| Свободная длина третей ступени стойки L03, м | 42,704 | 42,7018 | 0,01 | - | - |
Скачать пример
Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.
Комментарии