Цель:
Определение критического значения сжимающих усилий, равномерно распределенных по двум противоположным поперечным торцам прямоугольной свободно опертой пластины, подкрепленной продольными ребрами, соответствующих моменту потери ее устойчивости.
Литература:
С. П. Тимошенко, Устойчивость стержней, пластин и оболочек, Москва, Наука, 1971, стр. 507.
А. С. Вольмир, Устойчивость деформируемых систем, Москва, Наука, 1967, стр. 377.
Формулировка задачи:
Прямоугольная свободно опертая пластина, подкрепленная продольными ребрами, подвергается воздействию сжимающих усилий σ, равномерно распределенных по двум противоположным поперечным торцам. Определить критическое значение сжимающих усилий σкр, соответствующих моменту потери устойчивости прямоугольной подкрепленной пластины при учете следующих предположений, принятых при выводе аналитического решения:
Ребра стоят симметрично относительно срединной плоскости усиливаемой пластины;
Не учитывается жесткость ребер на кручение;
Ребра и пластина испытывают равномерное сжатие.
Описание расчетной схемы:
Расчетная схема - система общего вида. Рассматриваются две расчетные схемы с соотношениями сторон пластины a/b = 1,0; 4,0. Сетка конечных элементов разбита по сторонам пластины (вдоль осей X и Y общей системы координат) с шагом 0,075 м. На одном из двух противоположных поперечных торцов пластины, подверженных воздействию сжимающих усилий, задаются равномерно распределенная по линии нагрузка на пластину с начальным значением p = σ*h = 1000 кН/м и узловые нагрузки на ребра с начальным значением P = σ*F = 30 кН (вдоль оси X общей системы координат).
Геометрия:
Размер стороны прямоугольной пластины, свободной от нагрузок (вдоль оси X общей системы координат) a = 0,6; 2,4 м;
Размер стороны прямоугольной пластины, подверженной воздействию сжимающих усилий (вдоль оси Y общей системы координат) b = 0,6 м;
Толщина прямоугольной пластины h = 0,01 м;
Площадь поперечного сечения ребер F = 3*10-4 м2;
Количество ребер s = 3.
Характеристика материала:
Модуль упругости материала пластини и ребер E = 2*108 кН/м2;
Коэффициент Пуассона v = 0,3.
Граничные условия:
Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорного контура пластины по степени свободы Z.
Также на узлы одного из двух противоположных продольных торцов пластины, свободных от нагрузок, накладываются связи по нормальному к нему направлению (вдоль оси Y общей системы координат). В этих целях на узел одного из углов пластины накладывается связь по направлению UZ общей системы координат.
Нагрузки:
Начальное значение сжимающих усилий σ = 1*105 кН/м2.
Примечание:
Задача решается в пространственной постановке (признак схемы 5).
Для описания работы схемы использован КЭ 44 - для пластини и КЭ 10 - для ребер.
Количество узлов: 81; 297. Количество элементов: 88; 352.
Результаты расчета:
|
|
|
Расчетная схема 1 с соотношениями сторон a/b = 1,0
|
|
|
|
|
|
1-я форма потери устойчивости для схемы 1
|
2-я форма потери устойчивости для схемы 1
|
3-я форма потери устойчивости для схемы 1
|
|
|
|
Расчетная схема 2 с соотношениями сторон a/b = 4,0
|
|
|
|
|
|
1-я форма потери устойчивости для схемы 2
|
2-я форма потери устойчивости для схемы 2
|
3-я форма потери устойчивости для схемы 2
|
Аналитическое решение:
При аналитическом решении критическое значение сжимающих усилий σкр1 в первом приближении, соответствующем моменту потери устойчивости прямоугольной подкрепленной пластины, определяется по формуле:
n, m = 1, 2, 3 … – число полуволн формы потери устойчивости в направлениях поперечном и продольном относительно сжатия пластины.
Сравнение результатов расчета:
Критическое значение сжимающих усилий σкр, кН/м2
Без дополнительных узлов по сторонам:
| Расчетная схема | Форма потери устойчивости | Количество полуволн в поперечном n и продольном m направлениях | Теория | LIRA-FEM | Погрешность, % |
| a/b=1,0 | 1 | 1; 1 | 235900 | 2,33201*105=233201 | 1,14 |
| 2 | 1; 2 | 535675 | 5,27733*105=527733 | 1,48 | |
| 3 | 2; 2 | 943645 | 9,03641*105=903641 | 2,71 | |
| a/b=4,0 | 1 | 1; 3 | 220164 | 2,18038*105=218038 | 0,97 |
| 2 | 1; 4 | 235911 | 2,33211*105=233211 | 1,14 | |
| 3 | 1; 2 | 278654 | 2,76935*105=276935 | 0,61 |
С использованием дополнительных узлов по сторонам:
| Расчетная схема | Форма потери устойчивости | Количество полуволн в поперечном n и продольном m направлениях | Теория | LIRA-FEM | Погрешность, % |
| a/b=1,0 | 1 | 1; 1 | 235900 | 2,35926*105=235926 | 0,01 |
| 2 | 1; 2 | 535675 | 5,34331*105=534331 | 0,25 | |
| 3 | 2; 2 | 943645 | 9,44189*105=944189 | 0,06 | |
| a/b=4,0 | 1 | 1; 3 | 220164 | 2,20184*105=220184 | 0,01 |
| 2 | 1; 4 | 235911 | 2,35942*105=235942 | 0,01 | |
| 3 | 1; 2 | 278654 | 2,78658*105=278658 | 0,001 |
Скачать пример
Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.
Комментарии