Тест 2.13. Устойчивость прямоугольной ортотропной свободно опертой пластины равномерно сжатой в одном направлении

Цель:

Определение критического значения сжимающих усилий, равномерно распределенных по двум противоположным поперечным торцам прямоугольной ортотропной свободно опертой пластины, соответствующей моменту потери ее устойчивости.

Литература:

А. С. Вольмир, Устойчивость деформируемых систем, Москва, Наука, 1967, стр. 374.

Формулировка задачи:

Прямоугольная ортотропная свободно опертая пластина подвергается воздействию сжимающих усилий σ, равномерно распределенных по двум противоположным поперечным торцам. Определить критическое значение сжимающих усилий σcrort, соответствующее моменту потери устойчивости прямоугольной ортотропной пластины.

Описание расчетной схемы:

Расчетная схема - система общего вида. Рассматриваются две расчетные схемы с соотношениями сторон пластины a/b = 1,0; 4,0. Сетка конечных элементов разбита (вдоль осей X и Y общей системы координат) с шагом 0,075 м. На одном из двух противоположных поперечных торцов пластины, подверженных воздействию сжимающих усилий, задается равномерно распределенная по линии нагрузка с начальным значением p = σ*h = 1000 кН/м.

Геометрия:

Размер стороны прямоугольной пластины, свободной от нагрузки (вдоль оси X общей системы координат) a = 0,6; 2,4 м;
Размер стороны прямоугольной пластины, подверженной воздействию сжимающих усилий (вдоль оси Y общей системы координат) b = 0,6 м;
Толщина прямоугольной пластины h = 0,01 м.

Характеристика материала:

Модуль упругости материала пластины, соответствующий продольным деформациям оси X общей системы координат E₁ = 5,6*10⁸ кН/м²;
Коэффициент Пуассона, соответствующий поперечным деформациям по оси Y общей системы координат v₂₁ = 0,3;
Модуль упругости материала пластины, соответствующий продольным деформациям оси Y общей системы координат E₂ = 2,123*10⁸ кН/м²;
Коэффициент Пуассона, соответствующий поперечным деформациям по оси X общей системы координат v₁₂ = 0,114;
Модуль сдвига материала пластины G₁₂ = 0,769*10⁸ кН/м².

Граничные условия:

Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорного контура пластины в направлении степени свободы Z. На узлы противоположного торца, где задается нагрузка, накладываются связи по соответствующему направлению (вдоль оси X общей системы координат). В целях обеспечения геометрической неизменности расчетной схемы на узлы одного из двух противоположных продольных торцов пластины, свободных от нагрузки, накладываются связи по нормальному к нему направлению (вдоль оси Y общей системы координат). В этих же целях на узел одного из углов пластины накладывается связь по направлению UZ общей системы координат.

Нагрузки:

Начальное значение сжимающих усилий σ = 1*10⁵ кН/м².

Результаты расчета:

Аналитическое решение:

При аналитическом решении критическое значение сжимающих усилий σ_крорт, что соответствует моменту потери устойчивости прямоугольной ортотропной пластины, определяется по формуле:

n, m = 1, 2, 3 … – число полуволн формы потери устойчивости в поперечном и продольном направлениях относительно сжатия пластины.
Жесткостные характеристики ортотропной пластины принимаются из условий эквивалентности жесткостным характеристикам подкрепленной пластины:

и определяются по следующим формулам:

Критические значения сжимающих усилий σ_кр для подкрепленной пластины должны быть уменьшены с коэффициентом k относительно критических значений сжимающих усилий σ_кр для ортотропной пластины, поскольку при определении последних не учитывается составляющая, действующая на ребра первой:

где F – площа ребра жорсткості, s – число ребер.

Сравнение результатов расчета:

Без дополнительных узлов по сторонам:

С использованием дополнительных узлов по сторонам: