Тест 2.12. Устойчивость квадратной шарнирно опертой пластины равномерно сжатой в одном направлении при кинематическом воздействии

Цель:

Определение критического значения сближения двух противоположных сторон квадратной шарнирно опертой пластины, соответствующей моменту потери ее устойчивости.

Литература:

J.H. Argyris, P.C. Dunne, G.A. Malejannakis, E. Schelkle, A simple triangular facet shell element with applications to linear and non-linear equilibrium and elastic stability problems, Computer methods in applied mechanics and engineering, 11 (1977), p. 97-131. S.P. Timoshenko, J.M. Gere, Theory of elastic stability, McGraw-Hill, New York, 1963, p. 356.

Формулировка задачи:

Квадратная пластина подвергается воздействию сближения Δ двух противоположных сторон, имеющих шарнирно подвижную (свободную) опору. Две другие противоположные стороны пластины, свободные от действия, имеют шарнирно неподвижную опору. Определить критическое значение сближения Δ_кр, что соответствует моменту потери устойчивости квадратной пластины.

Описание расчетной схемы:

Расчетная схема - система общего вида. Сетка конечных элементов разбита по сторонам пластины (вдоль осей X и Y общей системы координат) с шагом 1,0 м.

Геометрия:

Размер стороны квадратной пластины a = 8,0 м;
Толщина квадратной пластины h = 0,08 м.

Характеристика материала:

Модуль упругости материала квадратной пластины E = 1,0*10⁷ кН/м²;
Коэффициент Пуассона v = 1/3.

Граничные условия:

Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорного контура пластины в направлении степени свободы Z, а также за счет наложения связей на узлы двух противоположных сторон пластины, свободных от воздействий по нормальному направлению к ним вдоль оси Y общей системы координат.
На узлы двух противоположных сторон пластины, подверженных кинематическому воздействию, накладываются связи по соответствующему направлению (вдоль оси X общей системы координат). Воздействие задается устранением связей одной из этих сторон с начальным значением Δ = 1,0*10^-3 м.
С целью обеспечения геометрической неизменяемости расчетной схемы на один узел контура пластины накладывается связь в направлении UZ общей системы координат.

Нагрузки:

Начальное значение сближения Δ = 1,0*10^-3 м.

Результаты расчета:

Аналитическое решение:

При аналитическом решении критическое значение сближения Δ_кр двух противоположных сторон квадратной шарнирно опертой пластины, соответствующей моменту потери устойчивости квадратной пластины определяется по формуле:

Сравнение результатов расчета: