Цель:
Определение критического значения сжимающих усилий, равномерно распределённых по двум противоположным сторонам прямоугольной свободно опертой пластины, соответствующей моменту потери ее устойчивости.
Литература:
С.П. Тимошенко. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. — Москва. Наука. — 1971. — стр. 621.
А.С. Вольмир. Устойчивость деформируемых систем. — Москва. — Наука. — 1967. — стр. 328.
Формулировка задачи:
Прямоугольная свободно опертая пластина подвергается воздействию сжимающих усилий σ равномерно распределенных по двум противоположным сторонам. Определить критическое значение сжимающих усилий σкр, что соответствует моменту утраты устойчивости прямоугольной пластины.
Описание расчетной схемы:
Расчетная схема - система общего вида. Для трех расчетных схем с соотношениями сторон пластины a/b = 0,5; 1,0; 1,5 сетка конечных элементов разбита по сторонам пластины (вдоль осей X и Y общей системы координат) с шагом 1,0 м. На одной из двух противоположных сторон пластины, склонных к воздействию сжимающих усилий, задается равномерно распределенная по линии нагрузка с начальным значением p = σ*h = 100 кН/м.
Геометрия:
Размер стороны прямоугольной пластины, свободной от усилий (вдоль оси X общей системы координат) a = 4,0; 8,0; 12,0 м;
Размер стороны прямоугольной пластины, подверженной влиянию сжимающих усилий (вдоль оси Y общей системы координат) b = 8,0 м;
Толщина прямоугольной пластины h = 0,08 м.
Характеристика материала:
Модуль упругости E = 1,0*107 кН/м2;
Коэффициент Пуассона v = 1/3.
Граничные условия:
Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорного контура пластины по направлениям степени свободы Z.
На узлы противоположной стороны той, где задается равномерно распределенная по линии нагрузка, накладываются связи по соответствующему направлению (вдоль оси X общей системы координат).
С целью обеспечения геометрической неизменяемости расчетной схемы на узлы одной из двух противоположных сторон пластины, свободных от усилий, накладываются связи по нормальному к ней направлению (вдоль оси Y общей системы координат). Также на узел одного из углов пластины накладываются связи по направлению UZ общей системы координат.
Нагрузки:
Начальное значение сжимающих усилий σ = 1,25*103 кН/м2.
Примечание:
Задача решается в пространственной постановке (признак схемы 5).
Для описания работы пластины использован КЭ 44 – универсальный четырехугольный КЭ оболочки.
Количество узлов: 45; 81; 117. Количество элементов: 32; 64; 96.
Результаты расчета:
|
|
|
|
Расчетная схема с соотношением a/b = 0,5
|
Форма потери устойчивости для схемы a/b = 0,5
|
|
|
|
|
Расчетная схема с соотношением a/b = 1,0
|
Форма потери устойчивости для схемы a/b = 1,0
|
|
|
|
|
Расчетная схема с соотношением a/b = 1,5
|
Форма потери устойчивости для схемы a/b = 1,5
|
Аналитическое решение:
При аналитическом решении критическое значение сжимающих усилий σкр, что соответствует моменту потери устойчивости прямоугольной пластины определяется по формуле:
m = 1, 2, 3 ... - число полуволн формы потери стойкости в направлении сжатия пластины, минимальное значение которого определяется из выражения:
Сравнение результатов расчета:
Без додаткових вузлів на сторонах:
| Расчетная схема | Теория | LIRA-FEM | Погрешность, % |
| a/b=0,5 | 5783 | 4,50946*100/0,08=5636,825 | 2,528 |
| a/b=1,0 | 3701 | 2,91179*100/0,08=3639,738 | 1,655 |
| a/b=1,5 | 4016 | 3,14553*100/0,08=3931,913 | 2,094 |
С использованием дополнительных узлов по сторонам:
| Расчетная схема | Теория | LIRA-FEM | Погрешность, % |
| a/b=0,5 | 5783 | 4,62818*100/0,08=5785,225 | 0,038 |
| a/b=1,0 | 3701 | 2,96117*100/0,08=3701,463 | 0,012 |
| a/b=1,5 | 4016 | 3,21361*100/0,08=4017,013 | 0,025 |
Скачать пример
Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.
Комментарии