Тест 2.10. Устойчивость круговой двухшарнирной арки постоянного сечения при гидростатическом давлении

Цель:

Определение критического значения гидростатического давления, действующего на свод круговой двухшарнирной арки постоянного сечения, соответствующей моменту потери ее устойчивости.

Литература:

Н. В. Корноухов, Прочность и устойчивость стержневых систем, Москва, Стройиздат, 1949, стр. 212.

Формулировка задачи:

Круговая двухшарнирная арка постоянного сечения подвергается воздействию от равномерно распределенной радиальной нагрузки q. Определить критическое значение равномерно распределенной радиальной нагрузки q_кр, соответствующей моменту потери устойчивости арки. Принять, что при потере устойчивости элементы нагрузки следуют за осью арки, сохраняя параллельность своим прежним направлениям, благодаря чему происходит перемещение линии давления при потере устойчивости арки. Сравнить результат расчета с решением (С.П.Тимошенко), когда элементы нагрузки при искривлении оси арки сохраняют линии своего действия и линию давления при потере устойчивости арки не перемещается.

Описание расчетной схемы:

Расчетная схема – плоская рама. Сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси арки (вдоль осей X1 местных систем координат) с шагом центрального угла 5,0° (1,667°). Воздействие с начальным значением равномерно распределенной радиальной нагрузки q задается в направлении против осей Z1 местных систем координат элементов.

Геометрия:

Радиус продольной оси арки R = 60 м (120 м);
Центральный угол дуги арки 2*ω = 2*90⁰ (2*30⁰).

Характеристика материала:

Осевая жесткость арки EF = 2,16*10⁶ кН;
Изгибная жесткость арки EI_y1 = 2,592*10⁵ кН*м²;

Граничные условия:

Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на опорные узлы арки по направлениям степеней свободы X, Z.

Нагрузки:

Начальное значение равномерно распределенной радиальной нагрузки на арку q = 1 кН/м.

Результаты расчета:

Аналитическое решение:

При аналитическом решении по условиям Н. В. Корноухова критическое значение равномерно распределенной радиальной нагрузки q_кр, что соответствует моменту потери устойчивости арки определяется по формуле:

где η (параметр критической нагрузки) определяется решением трансцендентного уравнения:

При аналитическом решении по условиям С.П.Тимошенко критическое значение равномерно распределенной радиальной нагрузки qcr, что соответствует моменту потери устойчивости арки определяется по формуле:

При аналитическом решении для трехшарнирной рамы, составленной из ровных хорд, вписанных в дугу круга, критическое значение равномерно распределенной радиальной нагрузки q_кр, соответствующее моменту потери ее устойчивости определяется по формуле:

где υ (параметр критической нагрузки) определяется решением трансцендентного уравнения:

где 2*m - число хорд рамы, A - центральный угол одной хорды рамы, L - длина одной хорды рамы:

Сравнение результатов расчета:

Критическое значение равномерно распределенной радиальной нагрузки на арку q_кр, кН/м

Без скобок указаны теоретические значения, посчитанные по условиям данного примера (по М. В. Корноухову);

В круглых скобках указаны теоретические значения, посчитанные по условиям решения С. П. Тимошенко;

В квадратных скобках указаны теоретические значения, посчитанные для двухшарнирной рамы, составленной из 2*m=36 равных хорд, вписанных в дугу круга, и подверженной воздействию равных радиальных сил во всем ее узлам.