Шестая степень свободы для КЭ оболочки

Расчеты пространственных стержневых систем, как правило, подразумевает, что в каждом узле имеется шесть перемещений (в духе конечно-элементного подхода – это шесть степеней свободы) и шесть соответствующих им усилий. Каждая степень свободы имеет физический смысл – при линейных перемещениях по направлению осей Х, Y, Z и при угле поворота UX, UY, UZ относительно этих же осей. При расчете пластинчатых систем углу поворота UZ (шестая степень свободы) относительно оси ортогональной плоскости пластины (рис. 1) придание физического смысла связано с некоторой абстракцией.

История метода конечных элементов содержит примеры различных экзотических степеней свободы типа ; и т.д. Однако все они рано или поздно проявляли свою несостоятельность. Так, например, степень свободы типа ; и другие высшие производные от перемещений при изменении ориентации глобальной системы координат (необходимая процедура для универсальных расчетных комплексов) порождают другие типы и степени свободы.

Четырехузловой конечный элемент с вращательной степенью свободы

В различных публикациях дается построение матрицы жесткости. Так в [4] конечный элемент получается путем объединений аппроксимирующих функций Аллмана (перемещения в плоскости конечного элемента) и билинейных функций поворота нормали (вращательные перемещения) [8] (рис. 2).

Поле вращательных перемещений интерполируется следующим образом:

Поле перемещений в плоскости:

Где

Где k, i, j определяются как (5,1,2), (6,2,3), (7,3,4), (8,4,1).

Матрицы деформаций определяется как

Где вектор узловых перемещений.

Матрица производных имеет форму:

Где , несовместные функции формы определённые как:

Индексы i, j, k, m принимают значения:

i = 1, 2, 3, 4; m = i + 4; l = m – 1 + 4 floor(1/i);

k = mod (m, 4) + 1; j = l – 4;

матрица деформаций выражена как

где

Индексы i, j, k, m определяются выражением выше.

Вариационная формулировка метода конечных элементов, предложенная [6], определяется как:

Результирующая матрица жесткости является суммой матрицы и штрафной матрицы .

Положительный штрафной коэффициент в уравнении является проблемным вопросом. Однако принято приравнивать коэффициент равным модулю сдвига () [7-8].

Апологеты шестой степени свободы как правило приводят пресловутый пример «зонтик» - задача опирания плиты на одиночную колонну при необходимости восприятия крутящих воздействий относительно вертикальной оси колонны.

Если моделировать опирания пластины на одиночную опору без шестой степени свободы в узле, то защемление пластины в колонне будет отсутствовать, и пластина будет поворачиваться относительно колонны. Решим данную задачу с учетом шестой степени свободы в оболочке.

Пример 1 – применение шестой степени свободы в конструкциях типа «зонтик»

Исходные данные: квадратная плита а=6 м, жестко сочлененная с колонной квадратного поперечного сечения 0,5x0,5 м; длиной l=6 м, под действием продольной сосредоточенной силы p= 1 т.

Характеристика материала: Е = 3х10⁶т/м²; ν = 0.2.

Граничные условия: колонна у основания жестко защемлена. Расчетная схема показана на рис. 3.

Решение:

На рис. 4 и в табл. 1 приведены результаты расчета конструкции типа «зонтик», выполненные с помощью ПК ЛИРА-САПР.

Табл. 1. Результаты расчета конструкции типа «зонтик»

Анализируя результаты, приведенные в табл.1 можно сделать вывод, что сгущение сетки не приводит к уточнению решения, что свидетельствует о некорректности применения шестой степени свободы. Подобные проблемы, в несколько другой плоскости, рассматриваются в [12].

Следует отметить, что современные приемы моделирования предусматривают учет «тела» колонны. В этом случае узел сопряжения колонны и пластины рассчитывается с помощью абсолютно жестких тел (рис. 5,6) и без шестой степени можно обойтись. Абсолютно жесткое тело (АЖТ) – обеспечивает кинематическую связь перемещений ведомых узлов и ведущих. В ПК ЛИРА-САПР такого типа жесткие тела вводятся в автоматизированном режиме. Вводимые жесткие тела могут моделировать «тело» колонны любой конфигурации (крестовое, уголковое, тавровое и др.). Реализация в ПК ЛИРА-САПР допускает соответствие одному ведущему узлу произвольного количества ведомых узлов.

Такой способ моделирования, с одной стороны, решает проблему учета «тела» колонны, т.е. «срезки» пика моментов, возникающего при моделировании опирания на колонну как на точечную опору. С другой стороны, обеспечивает восприятие колонной крутящих деформаций. В большинстве случаев, когда имеется по крайней мере хотя бы две колонны, этого не требуется, т.к. в этом случае крутящий момент от деформаций в плоскости плиты будет восприниматься парами поперечных сил в колоннах, а крутящие моменты будут пренебрежимо малы и их наличие просто можно не учитывать (эффект пренебрежения моментами в законструированных жестких узлах ферм, когда в расчет были введены шарнирные узлы) [1].

Пример 2 – применение шестой степени свободы в конструкциях типа «складчатая оболочка»

В качестве необходимости применения шестой степени свободы приводят моделирование различных пространственных пластинчатых систем (рис. 7).

Каждый узел пространственной конструкции такого типа имеет шесть степеней свободы (три линейных и три угловых перемещения). Как правило узел конечного элемента плоской пластины имеет пять степеней свободы. Это обуславливает появление в канонической системе линейно зависимых уравнений, т.е. деление на ноль в процессе исключения неизвестных. Использование шестой степени свободы, в некоторых случаях, решает эту проблему. Хотя в продвинутых программных комплексах имеется процедура, обходящая эту проблему [2]. Если в процессе исключения в диагональном канонических уравнений появляется 0, то по этому направлению накладывается связь – в случае отсутствия нагрузки по этому направлению. Эта несложная процедура может оказаться полезной и во многих других случаях [2, 10].

И тем не менее в ряде случаев шестая степень в руках неискушенных пользователей может привести к неправильным результатам.

Пример 3 – стыковка рамного стержня с диафрагмой

На рис. 8 приведен пример моделирования защемления ригеля в стене. Здесь трудности обусловлены тем, что конечные элементы плоского напряженного состояния (балки-стенки) не имеют узловых неизвестных, соответствующих углу поворота относительно оси, ортогональной плоскости диафрагмы. Поэтому узел в точке А (рис.8) без каких-либо дополнительных мер будет для стержня шарнирным.

Моделирование защемления при помощи шестой степени свободы приводит к неправильным результатам. При сгущении сетки – момент в защемлении уменьшается, т.е. результат существенно зависит от конечно элементной сетки, что неправильно.

Рассмотрим данный пример. Исследуем изгибающий момент в балке под действием сосредоточенной вертикальной силы р=1т при различной густоте сетки. Расчетная схема показана на рис. 8. Результаты расчета в ПК ЛИРА-САПР приведены на рис. 9 и в табл. 2.

Табл. 2. Изгибающий момент My,т*м при различной густоте сетки

В данном случае защемление необходимо моделировать другими способами (введение АЖТ, заведение ригеля в тело стены и др) [5]. Для организации защемления рамного стержня в теле диафрагмы можно рекомендовать введение дополнительного стержня между узлами А и В (рис.9 б, 10). С одной стороны, введение такого стержня будет вносить некоторые локальные возмущения, но, с другой стороны, в ряде случаев это будет моделировать конструктивное решение узла (заведение арматуры примыкающего стержня с целью анкеровки) [1].

Другой способ - ввести абсолютно жесткое тело (АЖТ) в месте примыкания балки к диафрагме (высота АЖТ должна быть равной высоте балки, ведущий узел расположен в центре тяжести сечения балки) (рис. 11). Это обеспечит кинематическую связь между узлами диафрагмы и балки [11].

Как правило увеличение количества степеней свободы увеличивает точность решения задачи. С шестой степенью свободы дело обстоит несколько иначе.

Пример 4 – прямоугольная балка-стенка, жестко подвешенная по боковым сторонам, под действием равномерно-распределенной нагрузки, расположенной на верхней стороне

Рассмотрим задачу (рис. 12), которая имеет точное решение [3].

Исходные данные:

Нагрузка: равномерно распределенная нагрузка, действующая в плоскости балки-стенки по оси Y: p = 500 Н/м.

Размеры:h = 0.1 м; b = 1.6 м; а = 1.6 м.

Характеристика материала: Е = 2.65 х 10⁶ Па; ν = 0.15.

Граничные условия: балки-стенка жестко подвешена по боковым сторонам.

Расчетная схема балки-стенки показана на рис. 12.

Задание:

Определить перемещения в узле А по оси Z для конечных элементов балка-стенка при различной густоте сетки и сравнить с точным решением (табл. 3).

Табл. 3. Сравнение результатов расчета балки-стенки, в ПК ЛИРА-САПР и аналитического расчета

В табл. 3 приведено значение перемещения по оси Z в узле А для различных КЭ-сеток с различными типами конечных элементов плоской задачи:

1. КЭ 21 с двумя степенями свободы в узле (X, Z);
2. КЭ 28 – прямоугольный КЭ плоской задачи (балка-стенка) с промежуточными узлами на сторонах, с двумя степенями свободы в узле (X, Z);
3. КЭ 21 с тремя степенями свободы в узле (X, Z и наличие шестой степени свободы UY).

Анализируя результаты приведенные в табл.3 можно отметить, что введение шестой степени свободы не улучшает точность решения, хотя количество степеней свободы увеличивается. Так же следует учитывать, что при увеличении общего количества неизвестных L обусловленность матрицы К ухудшается, а это может привести к невозможности достижения заданной точности, хотя порядок аппроксимации для используемых типов элементов может обусловливать эту точность. Критерием обусловленности матрицы К может служить спектральное число обусловленности а(К). Чем хуже обусловленность, тем больше а(К). В работе [9] дается оценка а(К), которая при равномерной сетке имеет вид:

где m – порядок системы уравнений;

h – максимальный размер конечных элементов.

Из оценки (2) видно, что при конкретных расчетах больших задач лучше избегать чрезмерно густых расчетных сеток, а заданную точность достигать за счет более высокого порядка аппроксимации.

Выводы:

1. В некоторых случаях (рис.3, 7) введение шестой степени свободы имеет некоторый смысл. Хотя и в этом случае введение определенных приемов адекватного моделирования позволяет избежать необходимость использования шестой степени свободы.
2. При моделировании конструктивных решений защемления (рис.8) применение шестой степени свободы приводит к неверным результатам.
3. Использование шестой степени свободы для улучшения точности решения задачи (рис.12) приводит к обратным результатам: общее количество степеней свободы увеличивается, а точность ухудшается.

Литература

1. Городецкий А.С., Барабаш М.С., Сидоров В.Н. Компьютерное моделирование в задачах строительной механики Учебное пособие. / А. С. Городецкий, М. С. Барабаш, В. Н. Сидоров – М.: Издательство АСВ, 2016. – 338 с.
2. Городецкий А.С. Компьютерные модели конструкций / А. С. Городецкий, И. Д. Евзеров. – [2-е изд., доп.] – Киев: "ФАКТ", 2007. – 394 с.
3. Калманок А.С. Расчет балок-стенок / А.С. Калманок – Москва: Госстройиздат, 1956.
4. Allman, D. J. (1984) A compatible triangular element including vertex rotations for plane elasticity analysis. Computers and Structures, vol. 19, pp. 1–8.
5. Расчет и проектирование конструкций высотных зданий из монолитного железобетона: проблемы, опыт, возможные решения и рекомендации, компьютерные модели, информационные технологии / [А. С. Городецкий, Л. Г. Батрак, Д. А. Городецкий и др.]. – Киев: Факт, 2004. – 106 с.
6. Hughes, T. J. R.; Brezzi, F. (1989): On drilling degrees of freedom. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 72, pp. 105–121.
7. Hughes, T. J. R.; Brezzi, F.; Masud, A.; Harari, I. (1989): Finite element with drilling degrees of freedom: Theory and numerical evaluations. In Proceedings of the fifth international symposium on numerical methods in engineering, pp. 3-17. Computational mechanics publications, Ashurst, U.K.
8. Ibrahimbegovic, A.; Taylor, R. L.;Wilson, E. L. (1990): A robust quadrilateral membrane finite element with drilling degrees of freedom. International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 30, pp. 445–457.
9. Розин Л. A. Основы метода конечных элементов теории упругости / Леонид Александрович Розин. – Л. : Из-во ЛПИ, 1971. – 77 с.
10. Барабаш М.С. Компьютерное моделирование процессов жизненного цикла объектов строительства: Монография/ Мария Сергеевна Барабаш. – К.: Изд-вл «Сталь», 2014. – 301 с
11. Киpьязев П.Н. Компьютерные модели узлов примыкания перекрытия к диафрагме / П. Н. Киpьязев, Ю. В. Гензерский, М. А. Ромашкина // Науково-технічний збірник: Проблеми розвитку міського середовища. – К.: НАУ, 2014. – № 2 (12) – С. 236 – 246.
12. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа / А.В. Перельмутер, В.И. Сливкер. - K .: Сталь, 2002 .-- 600 с