Objective
To determine the stress-strain state of a cylindrical shell with free ends subjected to a temperature gradient through its thickness.
Reference
S.P.Timoshenko. Plates and shells. — Moscow: OGIZ. Gostekhizdat, 1948.
Problem statement
A thin-walled cylindrical shell, free from restraints, is subjected to a temperature gradient through its thickness.
The temperatures of the inner (t1) and outer (t2) surfaces of the cylindrical wall are constant, while the temperature varies linearly through the wall thickness.
To determine the stress tensor components on the outer and inner surfaces of the shell in the meridional direction, σx(ext) and (σx(int), and in the circumferential direction, σφ(ext) and σφ(int), as well as the radial displacements w.
Design model
The design model is model type 5; 6 DOF per node. The FE mesh is divided with a step of 0.025 m in the meridional direction and 4.5° in the circumferential direction.
Geometry
Thickness of the wall in shell h = 0,02 m
Radius of the midsurface of the wall in shell a = 1 m
Shell length l = 4 m
Material properties
Modulus of elasticity Е = 2,1*108 kPa
Poisson's ratio ν=0,3
Boundary conditions
The geometric stability of the design model is ensured by applying restraints according to its symmetry conditions.
Loads
Coefficient of linear thermal expansion α = 1,2*10-5 1/C0;
Temperature at the inner surface of the cylindrical wall t1 = 00C;
Temperature at the outer surface of the cylindrical wall t2 = 200C.
Note
The problem is solved in 3D formulation (model type 5).
The model is generated with FE type 44 – arbitrary quadrilateral FE of shell.
Nodes: 12880. Elements: 12800.
Output data
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Deformed shape
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Radial displacements w, mm
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Radial displacements w for a fragment with a central angle of 180
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Meridional stresses on the outer surface of the shell σx(ext), kN/m2
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Meridional stresses on the inner surface of the shell σx(int), kN/m2
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Circumferential stresses on the outer surface of the shell σφ(ext), kN/m2
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Circumferential stresses on the inner surface of the shell σφ(int), kN/m2
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Analytical solution
In the analytical solution, the stresses on the outer and inner surfaces of the shell in the meridional σx(ext), σx(int) and circumferential σφ(ext), σφ(int) directions, as well as the radial displacements w, can be calculated using the following formulas, which provide a good approximation "at points located at a considerable distance".
Comparison of calculation results
Without additional side nodes:
| x, mm | w, mm | ||
| Theory | LIRA-FEM | Error, % | |
| 0.200 | -0,01861 | -0,017784 | 4,44 |
| 0.250 | -0,01371 | -0,0130339 | 4,93 |
| 0.300 | -0,00814 | -0,00771234 | 5,25 |
| 0.350 | -0,00376 | -0,00355577 | 5,43 |
| 0.400 | -0,00101 | -0,000955758 | 5,37 |
| 0.450 | 0,00036 | 0,000338351 | 6,01 |
| 0.500 | 0,00082 | 0,000769299 | 6,18 |
| 0.550 | 0,00079 | 0,000740913 | 6,21 |
| 0.600 | 0,00057 | 0,000535605 | 6,03 |
| 0.650 | 0,00033 | 0,000313068 | 5,13 |
| 0.700 | 0,00015 | 0,000141903 | 5,40 |
| 0.750 | 0,00004 | 3,62E-05 | 9,54 |
| 0.800 | -0,00002 | -1,56E-05 | 22,07 |
| 0.850 | -0,00004 | -3,22E-05 | 19,61 |
| 0.900 | -0,00003 | -3,03E-05 | -0,90 |
| 0.950 | -0,00002 | -2,15E-05 | -7,41 |
| 1.000 | -0,00001 | -1,22E-05 | -22,39 |
| 1.100 | 0 | -9,92E-07 | - |
| 1.200 | 0 | 1,63E-06 | - |
| 1.300 | 0 | 1,09E-06 | - |
| 1.400 | 0 | 3,65E-07 | - |
| 1.500 | 0 | 0 | - |
| 1.600 | 0 | 0 | - |
| 1.700 | 0 | 0 | - |
| 1.800 | 0 | 0 | - |
| 1.900 | 0 | 0 | - |
| 2.000 | 0 | 0 | - |
| x, mm | σx(ext), kN/m2 | σx(int), kN/m2 | ||||
| Theory | LIRA-FEM | Error, % | Theory | LIRA-FEM | Error, % | |
| 0.200 | 31761 | 30653,1 | 3,49 | -31761 | -30652,3 | 3,49 |
| 0.250 | 35560 | 34937,2 | 1,75 | -35560 | -34937 | 1,75 |
| 0.300 | 37206 | 36935 | 0,73 | -37206 | -36935 | 0,73 |
| 0.350 | 37553 | 37491,7 | 0,16 | -37553 | -37404,2 | 0,40 |
| 0.400 | 37286 | 37324,3 | -0,10 | -37286 | -36719 | 1,52 |
| 0.450 | 36841 | 36910,1 | -0,19 | -36841 | -36255,6 | 1,59 |
| 0.500 | 36441 | 36505,4 | -0,18 | -36441 | -36002,7 | 1,20 |
| 0.550 | 36164 | 36225,9 | -0,17 | -36164 | -35900,5 | 0,73 |
| 0.600 | 36010 | 36136,7 | -0,35 | -36010 | -35885,5 | 0,35 |
| 0.650 | 35945 | 36065,1 | -0,33 | -35945 | -35909,5 | 0,10 |
| 0.700 | 35933 | 36019,3 | -0,24 | -35933 | -35936,9 | -0,01 |
| 0.750 | 35946 | 35995,8 | -0,14 | -35946 | -35945,1 | 0,00 |
| 0.800 | 35965 | 35987,5 | -0,06 | -35965 | -35962,7 | 0,01 |
| 0.850 | 35982 | 35987,4 | -0,02 | -35982 | -35979,6 | 0,01 |
| 0.900 | 35994 | 35991,6 | 0,01 | -35994 | -35991,7 | 0,01 |
| 0.950 | 36000 | 35998,7 | 0,00 | -36000 | -35998,7 | 0,00 |
| 1.000 | 36002 | 36001,8 | 0,00 | -36002 | -36001,8 | 0,00 |
| 1.100 | 36002 | 36002,2 | 0,00 | -36002 | -36001,1 | 0,00 |
| 1.200 | 36001 | 36000,7 | 0,00 | -36001 | -35999,9 | 0,00 |
| 1.300 | 36000 | 36000,2 | 0,00 | -36000 | -35999,7 | 0,00 |
| 1.400 | 36000 | 36000 | 0,00 | -36000 | -35999,8 | 0,00 |
| 1.500 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
| 1.600 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
| 1.700 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
| 1.800 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
| 1.900 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
| 2.000 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
| x, mm | σφ(ext), kN/m2 | σφ(int), kN/m2 | ||||
| Theory | LIRA-FEM | Error, % | Theory | LIRA-FEM | Error, % | |
| 0.200 | 30819 | 30503,8 | 1,02 | -38637 | -38286,8 | 0,91 |
| 0.250 | 32988 | 32629,4 | 1,09 | -38748 | -38731,9 | 0,04 |
| 0.300 | 34652 | 34365,6 | 0,83 | -38072 | -38194,8 | -0,32 |
| 0.350 | 35676 | 35490,6 | 0,52 | -37256 | -37491,9 | -0,63 |
| 0.400 | 36173 | 36075,5 | 0,27 | -36598 | -37324,5 | -1,99 |
| 0.450 | 36328 | 36290,4 | 0,10 | -36176 | -36910,3 | -2,03 |
| 0.500 | 36305 | 36300,6 | 0,01 | -35960 | -36505,5 | -1,52 |
| 0.550 | 36215 | 36210,6 | 0,01 | -35883 | -36210,7 | -0,91 |
| 0.600 | 36123 | 36037,1 | 0,24 | -35883 | -36037,1 | -0,43 |
| 0.650 | 36053 | 35957,7 | 0,26 | -35914 | -35957,7 | -0,12 |
| 0.700 | 36011 | 35936,9 | 0,21 | -35949 | -35942,8 | 0,02 |
| 0.750 | 35991 | 35945,1 | 0,13 | -35976 | -35971,1 | 0,01 |
| 0.800 | 35986 | 35962,7 | 0,06 | -35993 | -35990,1 | 0,01 |
| 0.850 | 35987 | 35979,5 | 0,02 | -36002 | -36000,2 | 0,00 |
| 0.900 | 35991 | 35990,7 | 0,00 | -36005 | -36004,2 | 0,00 |
| 0.950 | 35995 | 35994,4 | 0,00 | -36005 | -36004,7 | 0,00 |
| 1.000 | 35998 | 35997,3 | 0,00 | -36004 | -36003,7 | 0,00 |
| 1.100 | 36000 | 36000,1 | 0,00 | -36001 | -36002,2 | 0,00 |
| 1.200 | 36001 | 36000,5 | 0,00 | -36000 | -36000,8 | 0,00 |
| 1.300 | 36000 | 36000 | 0,00 | -36000 | -36000 | 0,00 |
| 1.400 | 36000 | 35999,8 | 0,00 | -36000 | -35999,8 | 0,00 |
| 1.500 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
| 1.600 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
| 1.700 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
| 1.800 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
| 1.900 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
| 2.000 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
With additional side nodes:
| x, mm | w, mm | ||
| Theory | LIRA-FEM | Error, % | |
| 0.200 | -0,01861 | -0,0183603 | 1,34 |
| 0.250 | -0,01371 | -0,0135322 | 1,30 |
| 0.300 | -0,00814 | -0,00803914 | 1,24 |
| 0.350 | -0,00376 | -0,00371781 | 1,12 |
| 0.400 | -0,00101 | -0,00100134 | 0,86 |
| 0.450 | 0,00036 | 0,000356277 | 1,03 |
| 0.500 | 0,00082 | 0,000810351 | 1,18 |
| 0.550 | 0,00079 | 0,000781209 | 1,11 |
| 0.600 | 0,00057 | 0,000564917 | 0,89 |
| 0.650 | 0,00033 | 0,000329862 | 0,04 |
| 0.700 | 0,00015 | 0,000148832 | 0,78 |
| 0.750 | 0,00004 | 3,70E-05 | 7,48 |
| 0.800 | -0,00002 | -1,76E-05 | 11,86 |
| 0.850 | -0,00004 | -3,49E-05 | 12,73 |
| 0.900 | -0,00003 | -3,26E-05 | -8,71 |
| 0.950 | -0,00002 | -2,30E-05 | -15,21 |
| 1.000 | -0,00001 | -1,31E-05 | -30,57 |
| 1.100 | 0 | -9,80E-07 | - |
| 1.200 | 0 | 1,79E-06 | - |
| 1.300 | 0 | 1,16E-06 | - |
| 1.400 | 0 | 3,75E-07 | - |
| 1.500 | 0 | 0 | - |
| 1.600 | 0 | 0 | - |
| 1.700 | 0 | 0 | - |
| 1.800 | 0 | 0 | - |
| 1.900 | 0 | 0 | - |
| 2.000 | 0 | 0 | - |
| x, mm | σx(ext), kN/m2 | σx(int), kN/m2 | ||||
| Theory | LIRA-FEM | Error, % | Theory | LIRA-FEM | Error, % | |
| 0.200 | 31761 | 30452,9 | 4,12 | -31761 | -30156,1 | 5,05 |
| 0.250 | 35560 | 34813,7 | 2,10 | -35560 | -34742,8 | 2,30 |
| 0.300 | 37206 | 36882,2 | 0,87 | -37206 | -36920,9 | 0,77 |
| 0.350 | 37553 | 37484,7 | 0,18 | -37553 | -37378,8 | 0,46 |
| 0.400 | 37286 | 37338,4 | -0,14 | -37286 | -36718,3 | 1,52 |
| 0.450 | 36841 | 36928,6 | -0,24 | -36841 | -36263,8 | 1,57 |
| 0.500 | 36441 | 36520,1 | -0,22 | -36441 | -36011,4 | 1,18 |
| 0.550 | 36164 | 36249,5 | -0,24 | -36164 | -35906,7 | 0,71 |
| 0.600 | 36010 | 36153,8 | -0,40 | -36010 | -35888,9 | 0,34 |
| 0.650 | 35945 | 36074,9 | -0,36 | -35945 | -35910,9 | 0,09 |
| 0.700 | 35933 | 36023,4 | -0,25 | -35933 | -35932,3 | 0,00 |
| 0.750 | 35946 | 35996,5 | -0,14 | -35946 | -35940,5 | 0,02 |
| 0.800 | 35965 | 35986,6 | -0,06 | -35965 | -35959,4 | 0,02 |
| 0.850 | 35982 | 35986,1 | -0,01 | -35982 | -35977,7 | 0,01 |
| 0.900 | 35994 | 35991,3 | 0,01 | -35994 | -35990,9 | 0,01 |
| 0.950 | 36000 | 35998,6 | 0,00 | -36000 | -35998,6 | 0,00 |
| 1.000 | 36002 | 36001,9 | 0,00 | -36002 | -36002 | 0,00 |
| 1.100 | 36002 | 36002,3 | 0,00 | -36002 | -36001,1 | 0,00 |
| 1.200 | 36001 | 36000,8 | 0,00 | -36001 | -35999,9 | 0,00 |
| 1.300 | 36000 | 36000,2 | 0,00 | -36000 | -35999,7 | 0,00 |
| 1.400 | 36000 | 36000 | 0,00 | -36000 | -35999,8 | 0,00 |
| 1.500 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
| 1.600 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
| 1.700 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
| 1.800 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
| 1.900 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
| 2.000 | 36000 | 35999,9 | 0,00 | -36000 | -35999,9 | 0,00 |
| x, mm | σφ(ext), kN/m2 | σφ(int), kN/m2 | ||||
| Theory | LIRA-FEM | Error, % | Theory | LIRA-FEM | Error, % | |
| 0.200 | 30819 | 30039,6 | 2,53 | -38637 | -38049 | 1,52 |
| 0.250 | 32988 | 32260,6 | 2,21 | -38748 | -38583,1 | 0,43 |
| 0.300 | 34652 | 34135,5 | 1,49 | -38072 | -38121 | -0,13 |
| 0.350 | 35676 | 35379,9 | 0,83 | -37256 | -37557,5 | -0,81 |
| 0.400 | 36173 | 36043,9 | 0,36 | -36598 | -37405,9 | -2,21 |
| 0.450 | 36328 | 36300,1 | 0,08 | -36176 | -36976,3 | -2,21 |
| 0.500 | 36305 | 36324,6 | -0,05 | -35960 | -36547,2 | -1,63 |
| 0.550 | 36215 | 36219,1 | -0,01 | -35883 | -36230,9 | -0,97 |
| 0.600 | 36123 | 36040,3 | 0,23 | -35883 | -36042,8 | -0,45 |
| 0.650 | 36053 | 35957,7 | 0,26 | -35914 | -35955,8 | -0,12 |
| 0.700 | 36011 | 35935,4 | 0,21 | -35949 | -35943,1 | 0,02 |
| 0.750 | 35991 | 35943,4 | 0,13 | -35976 | -35970,9 | 0,01 |
| 0.800 | 35986 | 35961,4 | 0,07 | -35993 | -35989,8 | 0,01 |
| 0.850 | 35987 | 35978,7 | 0,02 | -36002 | -36000 | 0,01 |
| 0.900 | 35991 | 35989,5 | 0,00 | -36005 | -36004,1 | 0,00 |
| 0.950 | 35995 | 35993,6 | 0,00 | -36005 | -36004,7 | 0,00 |
| 1.000 | 35998 | 35996,9 | 0,00 | -36004 | -36003,7 | 0,00 |
| 1.100 | 36000 | 36000,1 | 0,00 | -36001 | -36002,4 | 0,00 |
| 1.200 | 36001 | 36000,5 | 0,00 | -36000 | -36000,8 | 0,00 |
| 1.300 | 36000 | 36000 | 0,00 | -36000 | -36000 | 0,00 |
| 1.400 | 36000 | 35999,8 | 0,00 | -36000 | -35999,8 | 0,00 |
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